Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 12
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
12.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Para calcular o limite
Devemos nos lembrar de um limite especial que costuma aparecer na sequência:
Passo 2
Como a potência no limite (2) é igual a , não , escreveremos o limite (2) usando a propriedade :
Para aplicar o limite à expressão dentro dos colchetes, devemos lembrar sobre os limites de funções contínuas, se e a função é uma função contínua no ponto , portanto,
Em outras palavras, o limite e a função contínua comutam. Observe que em nossa tarefa não temos funções e sim sequências (seu domínio é o conjunto dos números naturais). Mas neste caso, podemos considerar como uma variável real contínua. O devemos incluir na expressão (3) para calcular o limite. Vemos que para devemos tomar . Portanto, a avaliação do limite é igual a:
Como a função racional é contínua em , podemos aplicar os limites da função contínua à expressão
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.