Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 24
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?
Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza? 
Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:
Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .
De maneira prática, é só olhar para o termo geral e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que
então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.
O Teste da Integral, em outras palavras:
(i) Se for convergente, então �� convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Passo 2
Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com e e aplicar no formato:
Substituindo, temos:
Aqui podemos tirar a constante para fora da integral, que vamos precisar resolver utilizando integração por partes:
Resolvendo essa integração por partes com e :
Por fim, resolvendo a última integral, teremos:
Agora que resolvemos nossa integral, basta analisarmos somente o limite:
Aqui vemos que quando , cresce tanto que zera todo primeiro termo da soma dentro do limite. Daí ficamos com:
Passo 3
Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!
Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!