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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 16

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1

Passo 1

Fala, galera, Beleza??

Nessa questão vamos determinar se a série:

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1

É convergente ou divergente.

Primeiro verificamos se a função é contínua, positiva e decrescente. Se esses requisitos forem satisfeitos, o teste da integral é uma boa.

Despois vamos olhar pro termo geral da série e associálo a uma função f x . É só trocar o n por x .

Daí montamos a integral, onde os limites de integração são os limites que estão no somatório:

∫ 1 ∞ f x d x

Como temos “infinito” no limite de integração, então chamamos de integral imprópria. E pra resolver uma integral imprópria chamamos o infinito de alguma variável e calculamos o limite:

∫ 1 ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f x d x

Que aí o resultado da integral vai ser uma função e t , daí depois calcula o limite pra quando t vai pra infinito.

Se esse limite existir, então a integral é convergente e a série também é convergente.

Passo 2

Trocando o n por x , ficamos com a função:

f x = 3 x + 2 x x + 1

Como temos uma fração, então o único problema que teria e deixaria a função descontínua seria divisão por zero. Os números que dariam divisão por zero são 0 e - 1 , maaaas o somatório só começa em 1 , então não precisamos nos preocupar com esses valores. Poranto, a função é contínua em seu domínio.

Repara que se formos substituindo valores dos somatórios no termo geral:

- pra x = 1 :

3 1 + 2 1 1 + 1 = 5 2

- pra x = 2 :

3 2 + 2 2 2 + 1 = 8 6 = 4 3

- pra x = 3 :

3 3 + 2 3 3 + 1 = 11 12

E por aí vai...

Daí podemos ver que os valores são sempre positivos e são decrescentes.

Então os três requisitos pra usar o teste da integral foram satisfeitos.

Passo 3

Show de bola! Agora calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 3 x + 2 x x + 1 d x

Pra resolver uma integral imprópria trocamos o infinito por t e fazermos o limite de t tendendo a infinito:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 3 x + 2 x x + 1 d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por frações parciais, em que teremos:

3 x + 2 x x + 1 = A x + B x + 1

A x + 1 + B x x x + 1 = x A + B + A x x + 1

Comparando:

3 x + 2 x x + 1 = x A + B + A x x + 1

A + B = 3 A = 2 → ∴ A = 2 B = 1

Temos, portanto, que:

3 x + 2 x x + 1 = 2 x + 1 x + 1

∫ 3 x + 2 x x + 1 d x = ∫ 2 d x x + ∫ d x x + 1

= 2 ln ⁡ x ⏟ ln ⁡ x 2 + ln ⁡ x + 1 ⏟ ln ⁡ x 2 ⋅ x + 1

= ln ⁡ x 2 ⋅ x + 1

Passo 4

Retornando à integral, temos:

∫ 1 t 3 x + 2 x x + 1 d x = ln ⁡ x 2 ⋅ x + 1 1 t

= ln ⁡ t 2 ∙ t + 1 - ln ⁡ 1 ∙ 2

Agora só falta calcular o limite pra quando t vai pra infinito:

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t 2 ∙ t + 1 - ln ⁡ 1 ∙ 2 = ∞

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 3 n + 2 n n + 1   é divergente

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