Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 19

Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Relembrando o Teste da Integral:

Suponha que f seja uma função cont��nua, positiva e decrescente em certo intervalo e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:

(i) Se for convergente, então é convergente.

(ii) Se for divergente, então é divergente.

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

Passo 2

Vamos começar avaliando se realmente podemos utilizar o Teste da Integral:

Como citei no passo acima, precisamos que a função seja contínua, positiva e descrescente. No intervalo. Vamos calcular os primeiros termos e entender se eles estão diminuindo ou aumentando.

Essa nossa função é dividido por . Ela começa em (primeiro termo da soma), então temos que:

Para :

Se olharmos alguns pontos, temos o seguinte:

Para :

Ou seja, a função cresce mais rápido que , então é uma função decrescente.

Pra mostrar isso podemos calcular a derivada dessa função:

Fazendo a derivação da função:

E vemos que essa função é decrescente quando , ou seja, resolvendo a inequação, vamos ter:

Lembrando que , a função é decrescente a partir desse valor. Como estamos tratando na verdade de uma sequência onde só assume valores inteiros, nosso intervalo é e daí aplicamos o teste da integral.