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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 30

Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.

∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo tranquilo?

Aqui nós vamos precisar de dois conceitos. O primeiro é o do Teste da Integral:

Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [ 1 , ∞ ) e seja a n = f n . Então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:

(i) Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente.

(ii) Se ∫ 1 ∞ f x d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é divergente.

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim n → ∞ ⁡ ∫ 1 n f ( x ) d x

O segundo é o da série-p:

Esse é o formato de uma série-p:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

A vantagem de termos uma série desse tipo é que para a p-série (ou série-p), basta analisarmos o valor de p para entender se há convergência ou divergência. Viu como fica muuuuuito mais fácil?

Para a série-p, temos:

  • É convergente se p > 1

  • É divergente se p ≤ 1

Vamos passo a passo aplicar esses conceitos na nossa resolução. Bora lá!

Passo 2

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de p que tornam a série convergente?

Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral a n da nossa série com uma função f ( x ) da seguinte forma:

a n = 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p ↔ f x = 1 x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p

Para isso, vamos calcular a seguinte integral imprópria:

∫ 3 ∞ f ( x ) d x = ∫ 3 ∞ d x x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t d x x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição:

u = ln ⁡ x e d u = d x x

Substituindo, teremos:

∫ d x x ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x p = ∫ d u u ln ⁡ u p

Continuamos com uma integral meio complicadinha de se resolver.

Vamos usar outra substituição:

v = ln ⁡ u e d v = d u u

Substituindo novamente, ficamos com:

∫ d u u ln ⁡ u p = ∫ d v v p

Passo 3

Então, pessoal....Poderíamos continuar a fazer todas as contas que ainda faltam, mas vamos ser espertos(as) e pensar um pouco.

Aquela última integral na qual chegamos é a mesma que usaríamos para testar a convergência de uma p-série, certo?

Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série original:

p > 1 → ∫ d v v p   c o n v . → ∴ ∫ d u u ln ⁡ u p c o n v . → ∴ ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p   c o n v . p < 1 → ∫ d v v p   d i v . → ∴ ∫ d u u ln ⁡ u p d i v . → ∴ ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ��� n p   d i v .

Observação: aqui abreviei “converge” para “conv.” e diverge para “div.” só para essa nossa chave acima não ficar tão extensa.

Como discutimos ali no passo 1, a série converge quando a integral imprópria dela converge, e para séries do tipo série-p isso acontece para p > 1 .

Resposta

∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n ln ⁡ n p   é convergente para   p > 1

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