Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 16
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.
Passo 1
Show de bola, galera. Pra resolver esse tipo de questão não tem mistério.
Ela quer que a gente explique o motivo pelo qual a função
é diferenciável no ponto
Para fazer isso, precisamos avaliar se as derivadas parciais e existem e são contínuas no ponto dado.
Depois disso a questão nos pede a linearização da função no ponto, isto é, a sua aproximação linear. Vamos lembrar como faz isso e aplicar para o caso da nossa função, beleza?
Então vamos lá....
Passo 2
Para o nosso caso, temos
e queremos suas derivadas parciais.
Veja que em ambos os casos nós temos a função seno e uma outra função dentro dela, então vamos precisar da regra da cadeia.
Começando por :
A partir daí, obtemos:
Agora, substituindo no ponto
Agora vamos fazer a mesma coisa para :
Agora vamos substituir o ponto
Percebemos que as nossas derivadas existem para o nosso ponto de interesse . Além disso, percebemos que as nossas derivadas parciais são contínuas para . Desta forma, concluímos que a nossa função é diferenciável no ponto .
Passo 3
Beleza...Agora só falta calcular a linearização da função ao redor do ponto de interesse.
Para calcularmos a linearização ao redor do ponto , vamos lembrar que a aproximação linear de uma função no ponto :
Vamos calcular
Como já sabemos as coordenadas e também as derivadas nesse ponto, basta substituir:
Abrindo esses termos, encontramos:
Essa equação representa a um plano que aproxima a função no ponto