Encontre os vértices e os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce o seu gráfico.

24. y 2 - 4 x 2 - 2 y + 16 x = 31

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma hipérbole, para encontrarmos seus vértices, focos e assíntotas.

A equação geral de uma hipérbole é y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1 , mas veja que na equação dada nós não temos nenhum número embaixo do x e do y , nem 1 do lado direito. Para deixar ela mais parecida com a equação da hipérbole que estamos acostumados vamos agrupar os termos com x e os termos com y , completar quadrado e jogar os termos independentes para o outro lado. Muita coisa? Calma, vamos fazer passo a passo juntos:

y 2 - 4 x 2 - 2 y + 16 x = 31

( y 2 - 2 y ) - 4 ( x 2 + 4 x ) = 31

Aqui precisamos completar quadrado, pois é assim que os termos aparecem na equação geral

( y 2 - 2 y + 1 - 1 ) - 4 ( x 2 + 4 x + 4 - 4 ) = 31

y - 1 2 - 1 - 4 x + 2 2 - 16 = 31

y - 1 2 - 4 x + 2 2 = 16

Agora estamos quase lá, para fazer aparecer aquele 1 do lado direito basta dividir a equação inteira por 16 :

y - 1 2 16 - x + 2 2 4 = 1

Show! Agora podemos usar essa equação para encontrar o que foi pedido.

O foco de uma hipérbole desse tipo é dado por f = ( x 0 ,   y 0 ± a 2 + b 2 )

Como nossa equação y - 1 2 16 - x + 2 2 4 = 1 , temos que f = ( 2 ,   1 ± 2 5 )

Passo 2

Os vértices de uma hipérbole com centro fora da origem são: V = ( x 0 , ,   y 0 ± a )

Então, V = ( 2 ,     1 ± 4 )

V 1 = ( 2,5 ) e V 2 = ( 2 , - 3 )

Passo 3

As assíntotas da hipérbole podem ser encontradas por y - y 0 = ± a b ( x - x 0 ) . Neste caso temos y - 1 = ± 2 ( x - 2 ) .

Viu? Apesar do nome “assíntota da hipérbole” parecer assustador, no fim é uma coisa bem simples, nada de sofrer sem precisar.

Passo 4

Juntando todas essas informações, podemos fazer o esboço da hipérbole:

Resposta

f = ( 2 ,   1 ± 2 5 )

V 1 = ( 2,5 ) e V 2 = ( 2 , - 3 )

y - 1 = ± 2 ( x - 2 )

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