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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 27

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(k = 1)^(oo) (k ln k)/((k + 1)^3)

Passo 1

Estamos diante de uma série de termos positivos e sem muitas opções de manipulações algébricas que nos favoreça.

Sendo assim, vamos partir para o bom e velho “Teste da Comparação”:

(k ln k)/((k + 1)^3) < (k ln k)/(k^3) = (ln k)/(k^2)

Passo 2

Então, estamos usando a seguinte série para comparação:

sum_(k = 1)^(oo) b_k

b_k = (ln k)/(k^2)

Xiii....E agora? A série com a qual iremos comparar, é convergente ou divergente?

Para sabermos isso vamos aplicar à série o “Teste da Integral”.

Passo 3

Pelo Teste da Integral, dado o termo geral

b_k = (ln k)/(k^2)

vamos associá-lo à função f (x) :

f (x) = (ln x)/(x^2)

Show de bola!Para essa série o Teste da Integral fica assim:

sum_(k = 1)^(oo) b_k = sum_(k = 1)^(oo) (ln k)/(k^2) underset(T e s t e d a I n t e g r a l)(->) underset(t -> oo)(lim) int_1^t f ( x ) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (ln x)/(x^2) d x

Para o cálculo da integral, usaremos a técnica de integração por partes com

u = ln x

e

d v = (d x)/(x^2)

Isso nos faz resolver a integral da seguinte forma:

int underset(u)(ubrace ln x) underset(d v)(ubrace (d x)/(x^2)) = underset(u)(ubrace ln x) * underset(v)(ubrace (- (1)/(x))) - int underset(v)(ubrace (- 1)/(x)) * underset(d u)(ubrace (d x)/(x)) overset(R e s o l v e n d o)(->) int ln x (d x)/(x^2) = - (ln x)/(x) - (1)/(x)

Passo 4

Retornando ao nosso limite, temos que

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (ln x)/(x^2) d x = underset(t -> oo)(lim) (- (ln x)/(x) - (1)/(x)) (t)/(1) = [underset(t -> oo)(lim) (- (ln t)/(t) - (1)/(t))] + 1 = 1

Logo, a série

sum_(k = 1)^(oo) b_k = sum_(k = 1)^(oo) (ln k)/(k^2)

é convergente.

Passo 5

Caramba! Quanta volta tivemos que dar, hein! Mas chegamos e é isso que importa!!!

Bom, chegamos à conclusão (pelo Teste da Integral) de que a série que usamos para comparação é convergente! Beleza!

Mas lá no Passo 1 fizemos a comparação do termo geral a_k (da nossa série original do enunciado) com o termo b_k .

Logo, pelo Teste da Comparação, chegamos à conclusão de que a nossa série original é convergente!!!

Resposta

sum_(k = 1)^(oo) (k ln k)/((k + 1)^3) é convergente

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