Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 24
Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?
Passo 1
Fala meu pessoal. Temos aqui uma questão de várias etapas, a primeira coisa que devemos fazer é reconhecer qual o melhor método para descobrir a convergência da série, e depois teremos que descobrir qual o valor de que faz a série possui um erro menor que .
Vamos ver que
Pode ser escrita da seguinte forma:
Então chamaremos essa série de , perceba que possui um elemento que causa a mudança de sinal da série . Ou seja, essa série é alternada e isso me diz que o teste das séries alternadas é o mais adequado.
Para utilizar esse método iremos criar uma série que será associada a com a diferença que não possuirá o sinal negativo, irei testar se essa série é decrescente e se seu limite é zero quando tende ao infinito. Se ambas afirmações forem verdadeiras, então meu amigo, essa série converge, Ok?
Após isso utilizaremos o teorema da estimativa de séries alternadas para encontrar a soma com o erro indicado. Chega de blá blá blá, né? Vamos começar o exercício?
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
O Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada converge se:
Temos que:
.
Vamos verificar se as condições são atendidas.
- O valor de é decrescente, uma vez que o valor do denominador cresce à medida que o valor de cresce.
- Vamos agora ver como fica o limite!
Logo, a segunda condição também foi satisfeita. Assim, como as condições atendidas, podemos dizer que a série converge!
Passo 3
O teorema de estimativa de erro das séries alternadas diz que o erro é sempre menor que o último termo negligenciado. Veja, queremos encontrar um o valor de tal que , ou seja,
Por tentativa e erro, vamos estimar o valor de
- :
é o menor número para qual a inequação é satisfeita. Logo, é o menor número que o erro se torna menor que . Portanto, precisamos adicionar os cinco primeiros termos da série para aproximar a soam parcial com a precisão dada.
Resposta
Nós precisamos adicionar os primeiros cinco termos da série para aproximar a soma parcial com a precisão dada.