Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 9
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Antes de mergulharmos no teste da integral, é importante entender que estamos lidando com um tipo específico de série. O termo nos indica que podemos aplicar o Teste da Integral. Mas, como funciona esse teste?
O “Teste da Integral” nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série que os termos se assemelham a , onde e são funções decrescentes.
Basicamente
Para isso. Vamos usar uma técnica chamada teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente. Mas antes, é importante entender que estamos lidando com um
Basicamente, se conseguimos mostrar que a integral definida de converge, então a série converge. Vamos explorar isso!
Passo 2
Antes de aplicarmos logo o “Teste da Integral”, vamos só confirmar se o nosso termo da série, quando entendido como uma função a ser integrada, é, de fato, contínuo, positivo e decrescente (essa é a condição para usarmos o Teste da Integral 
).
Bom...Para o intervalo , nossa função é positiva, contínua e decrescente. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral sem medo de sermos felizes!
Passo 3
Aplicando o “Teste da Integral”, temos o seguinte:
Resolvendo aquela integral ali em cima e aplicando o limite, temos que:
Substituindo os limites da integral por e :
Após aplicarmos o limite, obtemos
Aplicando L’Hospital duas vezes nesse primeiro limite, temos:
Quando , também tende a , então:
Logo:
Passo 4
Opa! Chegamos à conclusão de que a nossa integral converge! Portanto, pelo “Teste da Integral”, a nossa série é convergente!
Resposta
A série é convergente.