Teste a convergência ou divergência da série:

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2

Passo 1

E aí, beleza?

Vamos resolver essa série usando um truque matemático chamado Teste da Integral para determinar se essa série converge ou diverge.

O Teste da Integral é uma técnica em que a gente associa o termo geral de uma série a uma função contínua f x . Se a integral imprópria ∫ 1 t f ( x ) d x converge, então a série também converge, se a integral diverge, a série também diverge

Neste caso, associamos   f x = e 1 / n n 2 ao termo geral da série. Agora, calcularemos o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t e 1 / x x 2 d x

Passo 2

Para o cálculo da integral, usaremos a técnica de substituição com u = 1 x e, assim, d u = - d x x 2 . Isso nos faz resolver a integral da seguinte forma:

∫ e 1 / x x 2 d x

- ∫ e u d u

- e u = - e 1 / x

Passo 3

Retornando ao nosso limite, temos que:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t e 1 / x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - e 1 / x t 1

lim t → ∞ ⁡ - e 1 / t + e = e - 1

Logo, pelo Teste da Integral, chegamos à conclusão de que a série ∑ k = 1 ∞ a n = ∑ k = 1 ∞ e 1 / n n 2 é convergente.

Resposta

∑ k = 1 ∞ e 1 / n n 2   é convergente

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