Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 28
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
E aí, beleza?
Vamos resolver essa série usando um truque matemático chamado Teste da Integral para determinar se essa série converge ou diverge.
O Teste da Integral é uma técnica em que a gente associa o termo geral de uma série a uma função contínua . Se a integral imprópria converge, então a série também converge, se a integral diverge, a série também diverge
Neste caso, associamos ao termo geral da série. Agora, calcularemos o seguinte limite:
Passo 2
Para o cálculo da integral, usaremos a técnica de substituição com e, assim, . Isso nos faz resolver a integral da seguinte forma:
Passo 3
Retornando ao nosso limite, temos que:
Logo, pelo Teste da Integral, chegamos à conclusão de que a série é convergente.
Resposta
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Euler também descobriu a soma da série p com p = 4 : ζ 4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 Use o resultado de Euler para encontrar a soma da série.a) ∑ n = 1 ∞ 3 n 4
Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 : ζ x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.a) ∑ n = 2 ∞ 1 n 2
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.15. ∑ n = 1 ∞ n + 4 n ² ²
3-8. Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.3. ∑ n = 1 ∞ 1 n 5
Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p = 2 : �� x = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 �� Utilize esse fato para encontrar a soma de cada série.b) ∑ n = 3 ∞ 1 ( n + 1 ) ² ²