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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 9

Determine as soluções periódicas, se existirem, do sistema

d x d t = y + x x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 ,     d y d t = - x + y x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2

Passo 1

Beleza! Nós sabemos que as coordenadas polares são dadas por:

x = r c o s θ ;       y = r s e n θ

Então, podemos escrever:

r . d r d t = x . d x d t + y . d y d t

Agora vamos substituir os valores de d x / d t e d y / d t fornecidos no enunciado, então, teremos:

r . d r d t = x y + x x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 + y - x + y x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2

r . d r d t = x y + x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 - x y + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2

r . d r d t = ( x 2 + y 2 - 2 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2

Agora, substituindo os valores de x e y para coordenadas polares, temos:

r . d r d t = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ - 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ

Colocando r 2 em evidência e utilizando a relação trigonométrica s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , chegamos em:

r . d r d t = r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

r . d r d t = r 2 - 2 r r 2 → d r d t = r 2 - 2

Passo 2

Da mesma forma, para θ teremos:

r 2 . d θ d t = x . d y d t - y . d x d t

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

r 2 . d θ d t = x - x + y x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 - y y + x x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2

r 2 . d θ d t = - x 2 + x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 - y 2 - x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2

r 2 . d θ d t = - x 2 + y 2

Substituindo os valores de x e y para as coordenadas polares, teremos:

r 2 . d θ d t = - r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = - r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

r 2 . d θ d t = - r 2 → d θ d t = - 1

Com as equações obtidas no passo 1, e sabendo que as soluções do sistema são dadas por:

d r d t = 0

Substituindo a equação obtida no passo 1, temos:

d r d t = r 2 - 2 = 0 → r = ± 2

Como não podemos ter uma circunferência com raio negativo, então nosso ponto crítico será:

r = 2

Passo 3

Os sinais nos intervalos de r serão:

0 < r < 2 → d r d t < 0

r > 2 → d r d t > 0

Então, nesse caso teremos o ponto r = 2 como sendo instável. Agora, para avaliar o ciclo limite, vamos utilizar a equação para d θ / d t obtida no passo 2, dessa forma, temos:

r = 2 ; d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

Esse ciclo limite também será instável.

Resposta

r = 2 ; d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0   ( i n s t á v e l )

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