Se f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x , determine a , b e c de tal forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, -1) e que a inclinação da tangente inflexional seja -3 .

Passo 1

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

E também:

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Passo 2

Como queremos que o ponto de inflexão ocorra em ( 1 ,   - 1 ) temos o seguinte sistema:

→ a + b + c = - 1 ; (1)

→ 6 a + 2 b = 0 (2)

Como queremos que a inclinação da tangente inflexional seja - 3 temos:

3 a + 2 b + c = - 3 (3)

Passo 3

Subtraindo (1) de (3) temos:

3 a - a + 2 b - b + c - c = - 3 + 1 ⇒

2 a + b = - 2 (4)

Fazendo (2) menos o dobro de (4) temos:

6 a - 4 a + 2 b - 2 b = 8 ⇒

2 a = 8 ⇒

a = 8 2 ⇒

a = 4

Substituindo a = 4 em (2):

24 + 2 b = 0 ⇒

2 b = - 24 ⇒

b = - 24 2 ⇒

b = - 12  

Substituindo em (1) temos:

4 - 12 + c = - 1 ⇒

- 8 + c = - 1 ⇒

c = - 1 + 8 ⇒

c = 7

Resposta

Portanto temos a = 4 , b = - 12 e c = 7 .

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