l) g(x) =

Primeiro, vamos derivar a função:

Então, pela regra da cadeia:

No nosso caso, temos que e e , beleza? Assim, vamos calcular cada derivada separadamente e juntar nessa fórmula aí de cima:

Dessa forma:

Até aqui, tranquilo? Agora, vamos só colocar essas informações na fórmula que te falei ali no início:

Beleza?

Show! Vamos derivar mais uma vez esse cara! Usando a regra do quociente:

Vamos lá:

Separamos o , pois ele é uma constante, beleza? Vamos achar cada termo dessa derivada:

O próximo é pela mesma regra da cadeia do passo anterior:

Por último, vamos só dar uma mexida nesse denominador do :

Ou ainda:

Juntando tudo:

Agora é fazer conta pra arrumar isso aí:

Fazendo as multiplicações:

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos. Primeiro, vamos achar os pontos críticos, isso é, onde a derivada é ou não existe. Ela é zero quando:

E não existe quando o denominador é , pois resulta em uma divisão por :

Ou

Logo, e são os nossos pontos críticos!

Vamos estudar o sinal da segunda derivada de acordo com esses pontos.

Podemos ver que em :

Nosso numerador continua positivo e o nosso denominador também fica positivo! Mas, por conta do sinal negativo ali na frente, temos .

Com um entre e , teremos um numerador positivo, como sempre, e nosso denominador continua positivo também! Pois nesse caso e aquela subtração fica positiva, beleza? Novamente, por conta do sinal negativo na frente, temos .

E com ? Bem, nosso numerador é sempre positivo! Mas olhando para o denominador, teremos , tornando a subtração um número negativo ()! Ao elevar esse cara a e depois tirando a raiz cúbica dele, ele continua negativo. Então, temos um número negativo no denominador, certo? Mas como temos o sinal negativo na frente da fração toda, ela se torna positiva. Assim, temos .

Resumo da ópera:

Para dentro dos intervalos e , temos .

Para dentro do intervalo , temos .

Beleza?

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso é .

Tranquilo? Acabamos! 😊