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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 5

Determine z = phi_1 (x , y) , y > 0 , tal que phi_1 (1,1) = (pi)/(4) e para todo y > 0 :

grad phi_1 (x , y) = (- (y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))

Passo 1

HI HI HI, vamos fazer mais uma, essa fala sobre polinômio de Taylor de ordem 1 ^^, usaremos apenas uma equação para resolve-la, é uma questão tranquila, vem comigo que é sucesso, primeiro, usaremos essa equação:

E (x , y) = (1)/(2) [ (del^2 f (overset(-)(x) , overset(-)(y)))/(del x^2) * (x - x_0)^2 + 2 * (del^2 f (overset(-)(x) , overset(-)(y)))/(del x y) * (x - x_0) * (y - y_0) + (del^2 f (overset(-)(x) , overset(-)(y)))/(del y^2) * (y - y_0)^2 ]

Muito grande, eu sei ;-; mas é o que temos, MAS POR QUE USAREMOS ISSO? Porque esse monstro equivale à |f (x , y) - P_1 (x , y)| , ou seja, E (x , y) = |f (x , y) - P_1 (x , y)| , se não sabe do que estou falando, meu amigo....você ta longe de casa, procura umas aulas aí no Responde aí sobre Polinômio de Taylor, se não sabe disso, então procura logo calculo I, enfim, aos que ficaram, simbora resolver isso.

Passo 2

Temos que z = phi_1 (x , y) , y > 0 , primeiramente, faremos as derivadas parciais dessa função:

grad phi_1 (x , y) = (- (y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))

grad phi_1 (x , y) = ((y^2)/(( x^2 + y^2 )_()^(2 )) , (x)/(x^2 + y^2))

(del^2 f (x , y))/(del x y) = 0

Agora podemos aplicar cada um desses termos na equação 1, mas antes, vamos determinar o valor de overset(-)(x) e overset(-)(y) , sabemos que |x – 1| x   - –   1 |   <   1   e   | y   - –   1 |   <   1 , logo, usaremos overset(-)(x) = 1 e overset(-)(y) = 1 ...sim, quase me esqueço, a questão fornece os pontos iniciais de x e y, e ambos equivalem a 1, agora sim, estamos prontos para seguir em frente.

E (x , y) = (1)/(2) [ (del^2 f (overset(-)(x) , overset(-)(y)))/(del x^2) * (x - 1)^2 + 2 * (del^2 f (overset(-)(x) , overset(-)(y)))/(del x y) * (x - 1) * (y - 1) + (del^2 f (overset(-)(x) , overset(-)(y)))/(del y^2) * (y - 1)^2 ]

grad phi_1 (x , y) = ((y^2)/(( x^2 + y^2 )_()^(2 )) , (x)/(x^2 + y^2))

phi_1 (x , y) = a r c t g (x)/(y) + (pi)/(2)

É isso tudo por hoje galera, até mais, bons estudos, vlw flw ;)

Resposta

phi_1 (x , y) = a r c t g (x)/(y) + (pi)/(2)

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja y = g ( x ) definida e derivável no intervalo aberto I , dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f x , y é suposta diferenciável no aberto A ⊂ R 2 . ∂ f ∂ x ⋅ ∂ f ∂ y0 em A. Com argum