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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 21

Seja f (x , y) = {[[e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)),s,e,,x^2,+,y^2,<,1],[0,s,e,,x^2,+,y^2,>=,1]]) .

a) Esboce o gráfico de f .

b) Determine (del f)/(del x) e (del f)/(del y) .

Passo 1

É dada uma função f de duas variáveis e o precisamos esboçar o gráfico da f , assim como obter suas derivadas.

Para esboçar o gráfico, devemos analisar um pouco o jeitão da f , vendo seus valores para alguns pontos- por exemplo.

Já para determinar as derivadas, basta derivar a função em duas situações:

-para a região onde x^2 + y^2 < 1

-para a região onde x^2 + y^2 >= 1

Passo 2

Pela equação da f , vemos que ela é zero para todos os pontos fora do círculo de raio 1 centrado na origem. Já dentro desse círculo, ela tem um comportamento exponencial.

De fato, para x^2 + y^2 = 1 , temos f = e^(1 // oo) = e^0 = 1 .

Para x = y = 0 temos f = e^((1)/(0 - 1)) = e^(- 1) . Ou seja, a função começa em 0 nas bordas do círculo de raio 1 e termina no valor e^(- 1) , como se a f fosse um chapéu ou algo assim.

A partir do que observamos, já podemos esboçar um gráfico aproximado:

Passo 3

Agora, para saber as derivadas da f , basta olhar o que que acontece nas duas regiões nas quais f está definida.

Para x^2 + y^2 >= 1 , temos f = 0 toda vida. Ou seja, suas derivadas também são nulas:

{[[(del f)/(del x) = 0],[(del f)/(del y) = 0]]) para x^2 + y^2 >= 1

Já na outra região, temos

(del f)/(del x) = (del)/(del x) [e^((1)/(x^2 + y^2 - 1))] = e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)) (del)/(del x) [(1)/(x^2 + y^2 - 1)] = - e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)) (1)/((x^2 + y^2 - 1)^2) (del)/(del x) [x^2 + y^2 - 1]

Ou seja

(del f)/(del x) = - e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)) (2 x)/((x^2 + y^2 - 1)^2)

Analogamente, vamos obter

(del f)/(del y) = - e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)) (2 y)/((x^2 + y^2 - 1)^2)

Resposta

a)

b) {[[(del f)/(del x) = 0],[(del f)/(del y) = 0]]) para x^2 + y^2 >= 1

{[[(del f)/(del x) = - e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)) (2 x)/((x^2 + y^2 - 1)^2)],[(del f)/(del y) = - e^((1)/(x^2 + y^2 - 1)) (2 y)/((x^2 + y^2 - 1)^2)]]) para x^2 + y^2 < 1

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