Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 4

Sejam f x , y = x 3 +   y 3 -   x 2 +   4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1, 1).

A) Utilizando P 1 ( x ,   y ) , calcule um valor aproximado para f ( x ,   y ) , sendo x = 1,001   e   y = 0,99 .

B) Avalie o erro que se comete na aproximação do item A.

Passo 1

OPA, OPA, eae, blz? Bora para mais uma questão, essa fala sobre polinômio de Taylor de ordem 1 com resto em Lagrange, EU SEI, É MUITO CONFUSO, mas vendo as aulas do Responde Aí é certeza que você entende direitinho, enfim, usaremos duas equações para resolver essa, permita-me apresentá-las:

E x ,   y = 1 2   [ ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x 2 * x - x 0 2 +   2 * ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x y * x - x 0 * y - y 0 + ∂ 2 f x - ,   y - ∂ y 2 * y - y 0 2 ] (1)

P 1 x ,   y =   f x 0 ,   y 0 + ∂ f x 0 ,   y 0 ∂ x * x - x 0 + ∂ f x 0 ,   y 0 ∂ y * ( y - y 0 ) (2)

Eu sei, são enormes, mas bem praticas, enfim, sem mais delongas, vamos de Letra A.

Passo 2

Temos que f x , y = x 3 +   y 3 -   x 2 +   4 y , primeiramente, faremos as derivadas parciais dessa função:

∂ f x ,   y ∂ x = 3 x 2 - 2 x

∂ f x ,   y ∂ y = 3 y 2 +   4 y

∂ 2 f x ,   y ∂ x 2 = 6 x - 2

∂ 2 f x ,   y ∂ y 2 = 6 y

∂ 2 f x ,   y ∂ x y = 0

A questão nos diz que os pontos iniciais de x e y equivalem a 1 e que devemos adotar um x = 1,001 e um y = 0,99, como ele quer que utilizemos o polinômio para fazer o calculo dessa função, inicialmente, adotaremos:

E x ,   y +   P 1 x ,   y = f x ,   y

Mas ignoraremos o resto em Lagrange, por enquanto, ou seja, calcularemos sem o Erro

P 1 x ,   y =   f x 0 ,   y 0 + ∂ f x 0 ,   y 0 ∂ x * x - x 0 + ∂ f x 0 ,   y 0 ∂ y * ( y - y 0 )

P 1 1.001   ,   0.99     =   f 1   , 1 + ∂ f 1 ,   1 ∂ x * 1.001 - 1 + ∂ f 1 ,   1 ∂ y * ( 0.99 - 1 )

P 1 1.001   ,   0.99     =   1,931

Agora temos o resultado da função f x ,   y com os pontos x em 1,001 e y em 0,99.

Prontinho, fizemos a letra A, PARTIU LETRA B!

Passo 3

Agora, que estamos na letra B, vejam só, quem ele está pedindo dessa vez, exatamente, ele está pedindo o erro que não calculamos no item A, então, simbora calcular esse erro usando o resto em Lagrange:

E x ,   y = 1 2   [ ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x 2 * x - x 0 2 +   2 * ∂ 2 f x - ,   y - ∂ x y * x - x 0 * y - y 0 + ∂ 2 f x - ,   y - ∂ y 2 * y - y 0 2 ]

E x ,   y = 1 2   [   ( 6 x - - 2 ) * x - 1 2 +   6 y - * y - 1 2 ]

E x ,   y = 1 2   [     4 * x - 1 2 +   6 * y - 1 2 ]

E x ,   y = | 2 x - 1 2 +   3 y - 1 2 |

E 1.001 ,   0.99 = | 2 1.001 - 1 2 +   3 0.99 - 1 2 |

E 1.001 ,   0.99 = 0,000302

Prontinho, agora temos o valor do erro na aproximação do item A, É ISSO, BONS ESTUDOS, ATÉ A PRÓXIMA, BYE GUYS.

Resposta

A) P 1 1 . 001   ,   0.99     =   1,931

B) E 1 . 001 ,   0.99 = 0,000302

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