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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 6

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada primeira e segunda:

y ' = sec 2 ⁡ x - 4

y ' ' = 2  sec ⁡ x   t g   x  

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

  y ' = sec 2 ⁡ x   - 4 = sec 2 ⁡ x = 4 → sec ⁡ x =   ± 2   → 1 c o s x = ± 2

cos ⁡ x =   ± 1 2 →   x =   ± π 3   e ± 2 π 3

Porém, repare que x =   ± 2 π 3 não pertence ao nosso intervalo, então consideraremos somente x =   ± π 3 .

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' π 3 =   2 2 3 = 4 3 > 0

y ' ' - π 3 = 2 ( 2 - 3 =   - 4 3 < 0

Então a função possui um ponto de máximo em x = - π 3 e ponto de mínimo em x = π 3 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

y '' =   2  sec ⁡ x   t g   x = 0

sec ⁡ x = 0   n ã o   p o d e o u   t g   x = 0    

x = 0   o u   π

Porém, observe que π não está no nosso intervalo, então vamos analisar o sinal da derivada segunda nos seguintes intervalos:

Então, temos que a concavidade é para baixo em - π 2 , 0 e para cima em 0 , π 2 .

E o ponto de inflexão são: ( 0,0 )

Resposta

Pontos de máximo em x = - π 3   e ponto de mínimo em x =   π 3 .

A concavidade é para baixo em - π 2 , 0 e para cima em 0 , π 2 .

E o ponto de inflexão é: ( 0,0 )

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