Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 5

Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada primeira e segunda:

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

Esses são nossos pontos críticos.

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

Então a função possui um ponto de máximo em e ponto de mínimo em .

Porém, observe que o gráfico é simétrico, em relação à origem, portanto, teremos um ponto mínimo em e um ponto de máximo em .

Passo 3

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

Então, temos que a concavidade é para cima em e e para baixo em e .

E os pontos de inflexão são: e .

Resposta

Pontos de máximo em e pontos de mínimo em e .

A concavidade é para cima em e e para baixo em e .

E os pontos de inflexão são: e .

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A partir do Exercício 57, o polinômio f x = x 3 + b x 2 + 1 tem um ponto de inflexão. Use um recurso gráfico computacional para tirar conclusões sobre o papel da constante b na localização do ponto de

53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.54. a) Se f e g forem côncavas para cima em um intervalo, então f +

46. a) Mostre que e x ≥ 1 + x se x ≥ 0 .b) Mostre que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 se x ≥ 0 .c) Confirme as desigualdades de a) e b) com algum recurso gráfico computacional.

53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.54. b) Se f e g forem côncavas para cima em um intervalo, então f .

45. a) Mostre que ln ⁡ x + 1 ≤ x se x ≥ 0 .b) Mostre que ln ⁡ x + 1 ≥ x - 1 2 x 2 se x ≥ 0 .c) Confirme as desigualdades em a) e b) com um recurso gráfico.