Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 58
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções e dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de .
Passo 1
Se você não viu o exercício 54, vai lá dar uma olhadinha e só venha para cá depois de ter entendido!
Para que a regra da cadeia seja válida, devemos ter apenas que e existam, o que é exigido na hipótese (i) da de demonstração no exercício 54. Todavia, para que a demonstração simplificada do exercício 54 seja válida, devemos considerar também a hipótese (ii): para todo num intervalo aberto contendo devemos ter .
Para as funções dadas, devemos verificar que ao menos uma das hipóteses não é satisfeita.
Passo 2
Note que é a função sinal, cujo gráfico é:
Veja que não é contínua em , de modo que não existe, quebrando a condição (i). Assim a regra da cadeia não vale nesse ponto.
Passo 3
Além disso, para ou , é uma função localmente constante, de modo que a hipótese (ii) não é satisfeita e a demonstração simplificada não é válida!
Resposta
Demonstração.