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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 59

Suponha que f e g sejam funções, tais que f ' x = 1 x e f ∘ g x = x . Prove que se g ' ( x ) existir, então g ' x = g ( x ) .

Passo 1

Essa é uma questão teórica de aplicação da regra da cadeia. O enunciado fornece várias informações e pede para usarmos ela para mostrarmos algo.

São dadas duas funções (que vamos supor deriváveis) tais que

f ' x = 1 x     e     f g x = x

Precisamos usar essas informações para provar que g ' x = g ( x ) .

Passo 2

Como a seção é sobre regra da cadeia, vamos tentar usá-la para resolver o problema. Onde temos uma função composta para usar a regra da cadeia?

f g x = x

Vamos aplicar a regra da cadeia nessa equação:

f g x ' = x ' ⇒ f ' g x ⋅ g ' x = 1

Mas como f ' x = 1 / x , temos que

f ' g x = 1 g ( x )

Passo 3

Mas como f ' x = 1 / x , temos que

f ' g x = 1 g ( x )

Assim,

1 g ( x ) ⋅ g ' x = 1 ⇒ g ' x = g ( x )

Provamos o que a questão pede!

Resposta

Demonstração.

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