Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 57

Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções e dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Se você não viu o exercício 54, vai lá dar uma olhadinha e só venha para cá depois de ter entendido!

Para que a regra da cadeia seja válida, devemos ter apenas que e existam, o que é exigido na hipótese (i) da de demonstração no exercício 54. Todavia, para que a demonstração simplificada do exercício 54 seja válida, devemos considerar também a hipótese (ii): para todo num intervalo aberto contendo devemos ter .

Para as funções dadas, devemos verificar que ao menos uma das hipóteses não é satisfeita.

Passo 2

A função é derivável em todos os pontos, de modo que devemos focar nossa atenção para .

O gráfico da função é

Note que não é derivável em e , de modo que a hipótese (i) não é válida nesses pontos. Assim a regra da cadeia não é válida nesses pontos.

Passo 3

Além disso, para , a hipótese (ii) não é satisfeita pois a função é constante nesse intervalo. Assim, nesse intervalo a regra da cadeia é válida, mas a demonstração simplificada do exercício 54 não é.

Para e , tanto a regra da cadeia é válida como a demonstração simplificada.