Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g .

f(x) = x^2 e g(x) = |x| + |x - 1|

Passo 1

Se você não viu o exercício 54, vai lá dar uma olhadinha e só venha para cá depois de ter entendido!

Para que a regra da cadeia seja válida, devemos ter apenas que f ' g x 1 e g ' ( x 1 ) existam, o que é exigido na hipótese (i) da de demonstração no exercício 54. Todavia, para que a demonstração simplificada do exercício 54 seja válida, devemos considerar também a hipótese (ii): para todo x ≠ x 1 num intervalo aberto contendo x 1 devemos ter g x ≠ g ( x 1 ) .

Para as funções dadas, devemos verificar que ao menos uma das hipóteses não é satisfeita.

Passo 2

A função f é derivável em todos os pontos, de modo que devemos focar nossa atenção para g .

O gráfico da função g x = x + | x - 1 | é

Note que g não é derivável em x = 0 e x = 1 , de modo que a hipótese (i) não é válida nesses pontos. Assim a regra da cadeia não é válida nesses pontos.

Passo 3

Além disso, para 0 < x < 1 , a hipótese (ii) não é satisfeita pois a função é constante nesse intervalo. Assim, nesse intervalo a regra da cadeia é válida, mas a demonstração simplificada do exercício 54 não é.

Para x < 0 e x > 1 , tanto a regra da cadeia é válida como a demonstração simplificada.

Resposta

Demonstração.

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