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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 94

Determine a tangente de y = sqrt(x^2 - x + 7) em x = 2

Passo 1

Questão direta ao ponto. Quando ela nos pede para determinar a tangente, é determinar a reta tangente. Isto é:

y - y_0 = m ( x - x_0 )

Em que ( x_0 , y_0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. A questão já nos deu x_0 = 2 , falta descobrirmos y_0 , através de substituição direta na equação da tangente.

Mas e o coeficiente angular m ? Como obteremos? Simples! Vamos utilizar nossos conhecimentos de derivadas! Desta forma, o nosso conhecimento m nada mais é que:

m = y^' (x_0) = f ' ( x_0 )

Passo 2

Vamos começar por determinar a coordenada y_0 . Substituindo x = 2 na equação da nossa curva, temos:

y = sqrt(2^2 - 2 + 7) = sqrt(9) = 3

Logo, y_0 = 3 .

Passo 3

Vamos agora começar a determinar o coeficiente angular m . Para isto, derivaremos a nossa curva.

[y]^' = [sqrt(x^2 - x + 7)]^'

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x^2 - x + 7)) * (x^2 - x + 7) '

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x^2 - x + 7)) * ( 2 x - 1 )

(d y)/(d x) = (2 x - 1)/(2 sqrt(x^2 - x + 7))

Passo 4

Vamos substituir o valor x = 2 na equação do coeficiente angular. Assim, obtemos:

(d y)/(d x) = (2 * 2 - 1)/(2 sqrt(2^2 - 2 + 7)) = (4 - 1)/(2 sqrt(9))

(d y)/(d x) = (3)/(2 * 3) = (1)/(2)

Logo, m = 1 // 2 .

Passo 5

Substituindo todos os dados na equação da reta, obtemos:

y - 3 = (1)/(2) (x - 2)

y = (1)/(2) x + 2

Resposta

y = - 4 x + 1

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