Determine a tangente de y = raiz(x^2 - x + 7) em x = 2

Passo 1

Questão direta ao ponto. Quando ela nos pede para determinar a tangente, é determinar a reta tangente. Isto é:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. A questão já nos deu x 0 = 2 , falta descobrirmos y 0 , através de substituição direta na equação da tangente.

Mas e o coeficiente angular m ? Como obteremos? Simples! Vamos utilizar nossos conhecimentos de derivadas! Desta forma, o nosso conhecimento m nada mais é que:

m = y ' x 0 = f ' ( x 0 )

Passo 2

Vamos começar por determinar a coordenada y 0 . Substituindo x = 2 na equação da nossa curva, temos:

y = 2 2 - 2 + 7 = 9 = 3

Logo, y 0 = 3 .

Passo 3

Vamos agora começar a determinar o coeficiente angular m . Para isto, derivaremos a nossa curva.

y ' = x 2 - x + 7 '

d y d x = 1 2 x 2 - x + 7 ⋅ x 2 - x + 7 '

d y d x = 1 2 x 2 - x + 7 ⋅ ( 2 x - 1 )

d y d x = 2 x - 1 2 x 2 - x + 7

Passo 4

Vamos substituir o valor x = 2 na equação do coeficiente angular. Assim, obtemos:

d y d x = 2 ⋅ 2 - 1 2 2 2 - 2 + 7 = 4 - 1 2 9

d y d x = 3 2 ⋅ 3 = 1 2

Logo, m = 1 / 2   .

Passo 5

Substituindo todos os dados na equação da reta, obtemos:

y - 3 = 1 2 x - 2  

y = 1 2 x + 2

Resposta

y = - 4 x + 1

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