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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 15

Ache a derivada da função dada.

f (x) = tan sqrt(x^2 + 1)

Passo 1

A questão pede a derivada da função dada. Como trata-se de um problema de aplicação de regras de derivação, não vamos nos importar muito com o domínio de f e f ' , vamos só calcular a derivada.

Usando a regra da cadeia e que a derivada da tangente é secante ao quadrado, temos que

f^' (x) = sec^2 sqrt(x^2 + 1) * (sqrt(x^2 + 1))^'

Passo 2

Resta calcular (sqrt(x^2 + 1))^' :

(sqrt(x^2 + 1))^' = ((x^2 + 1)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (x^2 + 1)^(- 1 // 2) * (x^2 + 1)^' = (2 x)/(2 (x^2 + 1)^(1 // 2))

Portanto,

(sqrt(x^2 + 1))^' = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Desta forma,

f^' (x) = (x sec^2 sqrt(x^2 + 1))/(sqrt(x^2 + 1))

Resposta

f^' (x) = (x sec^2 sqrt(x^2 + 1))/(sqrt(x^2 + 1))

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