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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 56

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

56. y = ( t^(- (3)/(4)) . s e n t )^((4)/(3))

Passo 1

Então pessoal, para conseguirmos resolver esse exercício devemos nos lembrar da regra da cadeia e da regra do produto, beleza? Utilizaremos a regra da cadeia para derivar a função como um todo, no entanto, ainda sim precisaremos derivar a função mais interna, que é aquele produto, sacou? A regra do produto é dada por:

g = u . v

g^' = u^' . v + u . v '

Onde u e v são funções de x , ok? Sendo assim, bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia para derivar a função mais externa, teremos:

(d y)/(d t) = (4)/(3) (t^(- (3)/(4)) . s e n t)^((4)/(3) - 1) . ( t^(- (3)/(4)) . s e n t ) '

:. (d y)/(d t) = (4)/(3) (t^(- (3)/(4)) . s e n t)^((1)/(3)) . ( t^(- (3)/(4)) . s e n t ) '

Passo 3

Agora só precisamos determinar a derivada daquele produto ali, certo? Vamos fazer o seguinte:

u = t^(- (3)/(4)) => u^' = - (3)/(4) . t^(- (7)/(4))

v = s e n t ��� v^' = cos t

Jogando na regra do produto, teremos:

g ' = u^' . v + u . v '

g^' = - (3)/(4) . t^(- (7)/(4)) . s e n t + t^(- (3)/(4)) . cos t

Passo 4

Agora que já encontramos tudo, basta substituirmos em (d y)/(d t) , se liga:

(d y)/(d t) = (4)/(3) (t^(- (3)/(4)) . s e n t)^((1)/(3)) . ( - (3)/(4) . t^(- (7)/(4)) . s e n t + t^(- (3)/(4)) . cos t )

(d y)/(d t) = (4)/(3) t^(- 1) . root(3)(s e n t) . cos t - t^(- 2) . ( s e n t )^((4)/(3))

:. (d y)/(d t) = (4 . root(3)(s e n t) . cos t)/(3 t) - (( s e n t )^((4)/(3)))/(t ²)

Resposta

(d y)/(d t) = (4 . root(3)(s e n t) . cos t)/(3 t) - (( s e n t )^((4)/(3)))/(t ²)

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