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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 7

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio, e nos outros três lados sera usada uma cerca elétrica feita com apenas um fio. Com 800 m de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar, e quais são as suas dimensões?

Passo 1

A nossa situação é a seguinte:

Onde aquela parte sem variável é o rio.

A área vai ser dada por

A = x y

Além disso, como vamos cerca apenas 3 lados, temos que a soma dos lados tem que ser igual ao comprimento do fio, ou seja,

2 x + y = 800

Assim,

y = 800 - 2 x

Substituindo na fórmula da área temo,

A = x 800 - 2 x

A = 800 x - 2 x 2

Agora vamos analisar o pontos crítico!

Passo 2

Para acharmos os pontos críticos, nós precisamos derivar e igualar a zero! Deste modo, ficamos com

A ' = 800 - 4 x

Fazendo isso igual a 0

800 - 4 x = 0

4 x = 800

x = 800 4

x = 200

Agora vamos calcular a área!

Passo 3

Substituindo o valor que encontramos para x na fórmula, temos

A = x 800 - 2 x

x = 200 → A = 200 800 - 2 200 = 200 800 - 400 = 200.400 = 80000

Entao o retângulo tem dimensões:

x = 200

y = 800 - 2 200 = 800 - 400 = 400

Resposta

Dimensão 200 × 400   m

Área máxima: 80000   m 2

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