Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 1b
Determine como no teorema do valor médio, sendo dados:
b)
Passo 1
Se liga: a questão quer que a gente use o TVM, então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né? Não lembra como ele é? Tá, vou colocar aqui pra você:
“Dados um conjunto A aberto do e dois pontos de A tais que o segmento esteja contido em A. Nestas condições, se é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto interno ao segmento tal que:
Então precisamos definir um conjunto que contenha os pontos e , e que seja aberto, como por exemplo
Além disso, meu parceiro, a função que nos foi dada é uma função polinomial, que é diferenciável no inteiro, e em particular, a função é diferenciável no conjunto A. E como construímos o conjunto A de modo que os pontos e estivessem dentro dele, podemos usar o teorema, beleza?
Ou seja, existe um ponto
Tal que
Os valores da função nesses pontos é:
Assim,
Passo 2
Vamos encontrar o gradiente da função para poder substituir na expressão acima.
Encontrando as derivadas:
Daí, para temos que . Substituindo,
Desenvolvendo o produto interno:
Passo 3
O ponto que precisamos, segundo o TVM, vai estar no segmento . Então ele satisfaz a equação da reta que passa por esses pontos! A equação da reta é dada por
Onde
Substituindo os pontos,
Sendo assim, o ponto que desejamos deve satisfazer ao sistema
Isolando
Substituindo na primeira,
Portanto, o ponto que estamos procurando é: