Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 1b

Determine como no teorema do valor médio, sendo dados:

b)

Passo 1

Se liga: a questão quer que a gente use o TVM, então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né? Não lembra como ele é? Tá, vou colocar aqui pra você:

“Dados um conjunto A aberto do e dois pontos de A tais que o segmento esteja contido em A. Nestas condições, se é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto interno ao segmento tal que:

Então precisamos definir um conjunto que contenha os pontos e , e que seja aberto, como por exemplo

Além disso, meu parceiro, a função que nos foi dada é uma função polinomial, que é diferenciável no inteiro, e em particular, a função é diferenciável no conjunto A. E como construímos o conjunto A de modo que os pontos e estivessem dentro dele, podemos usar o teorema, beleza?

Ou seja, existe um ponto

Tal que

Os valores da função nesses pontos é:

Assim,

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente da função para poder substituir na expressão acima.

Encontrando as derivadas:

Daí, para temos que . Substituindo,

Desenvolvendo o produto interno:

Passo 3

O ponto que precisamos, segundo o TVM, vai estar no segmento . Então ele satisfaz a equação da reta que passa por esses pontos! A equação da reta é dada por