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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 4

Determine o ponto do plano x + 2 y - z = 4 mais próximo da origem

Passo 1

Perceba que analisar o máximo e o mínimo local de f (x , y) .

Sabendo que o vetor normal ao plano tem coordenadas iguais aos coeficientes de x , y e z do plano . Logo o vetor v = ( 1,2 , - 1 ) , cujo módulo é sqrt(6) .

Seja u um vetor unitário na direção de v . Teremos que ele será igual a v dividido pelo seu módulo

u = (v)/(|v|) = (v)/(sqrt(6)) = ((1)/(sqrt(6)) , (2)/(sqrt(6)) , - (1)/(sqrt(6)))

A distância da origem ao plano é dada por

d (P , 0) = (|x - 2 y - z - 4|)/(sqrt(6)) = (|0 - 20 - 0 - 4|)/(sqrt(6)) = (4)/(sqrt(6))

O ponto é vetor unitário na direção de v multiplicado pela distância da origem ao plano somado a zero. Ou seja,

P = 0 + ((4)/(sqrt(6))) v = ( (2)/(3) , (4)/(3) , - (2)/(3) )

Resposta

( (2)/(3) , (4)/(3) , - (2)/(3) )

.

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