Um atleta percorreu as 26,2 milhas da maratona de Nova York em 2,2 horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas 11   m i l h a s / h o r a , supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero

Passo 1

O problema trata de um atleta que vai percorrer uma distância de 26,2 milhas em um período de 2,2 horas. Lembrando que V m = ∆ S ∆ t (variação do espaço sobre variação do tempo). Assim,

V m = 26,2 2 , 2 ≈ 11,909   m i l h a s / h

Queremos mostrar que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a uma velocidade de 11   m i l h a s / h o r a s .

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Para o nosso exemplo temos

26,2 - 0 2 - 0 = s ' c = v ( c )

s ' c = v c ≈ 11,909   m i l h a s / h

Através desse resultado podemos afirmar que o maratonista teve essa velocidade por pelo menos uma vez ao longo do trajeto.

Passo 3

Como a velocidade do maratonista no início e no final da corrida foram iguais a 0, podemos inferir que a velocidade do corredor é contínua. Dessa forma, pelo teorema do valor intermediário que diz que uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e temos y 0 entre f a e   f ( b ) , então y 0 = f ( c ) para um c no intervalo. Portanto , garantimos que a velocidade do corredor deve ter sido de 11milhas/hora pelo menos duas vezes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha quef seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b) Suponha também que f(a) e f(b) possuam sinais opostos e que f' ≠ 0 entre a e b . Demonstre que f(x) = 0 apenas uma vez entre a e b.
Demonstre que para quaisquer valores a e b a desigualdade | sen b - sen a || b - a | é verdadeira
Se |f(w) - f(x)| ≤ |w - x| para todos os valores w e x , e f é uma função derivável, mostre que -1 ≤ f'(x) ≤ 1 para todos os valores de x .
Suponha quef eg sejam deriváveis em [a, b] e que f(a) = g(a) e f(b) = g(b) . Demonstre que há pelo menos um ponto entre a e b onde as tangentes às curvas de f e g são paralelas ou são a mesma reta. Il
Se os gráficos de duas funções deriváveis f(x) e g(x) começam no mesmo ponto do plano cartesiano e as funções apresentam a mesma taxa de variação em todos os pontos, os gráficos serão necessariamente