Enunciado

Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices 0,0 ,   ( a , 0 ) e ( a , b ) , onde a > 0 e b > 0 .

Passo 1

Se o triangulo for C , podemos escrevê-lo como união das retas que ligam os pontos que são parametrizadas da forma

r 1 t = t , 0 , 0 ≤ t ≤ a

r 2 t = a , t ,   0 ≤ t ≤ b

r 3 t = a - a t , b - b t ,   0 ≤ t ≤ 1

E calculamos o centroide por

x - = 1 2 A ∮ C x 2   d y                     y - = - 1 2 A ∮ C y 2   d x

Podemos substituir a área do triangulo

A = a b 2

x - = 1 a b ∮ C x 2   d y                     y - = - 1 a b ∮ C y 2   d x

Passo 2

Calculando a componente x

x - = 1 a b ∮ C x 2   d y = 1 a b ∫ C 1 x 2   d y + ∫ C 2 x 2   d y + ∫ C 3 x 2   d y

Calculando a primeira integral

∫ C 1 x 2   d y = ∫ 0 a t 2 d d t ( 0 ) d t = 0

A segunda

∫ C 2 x 2   d y = ∫ 0 b a 2 d d t t d t = a 2 ∫ 0 b d t

= a 2 b

A terceira integral

∫ C 3 x 2   d y = ∫ 0 1 a - a t 2 d d t b - b t d t

= ∫ 0 1 a - a t 2 ( - b ) d t = a - a t 3 - 3 a - b 0 1

= b 3 a - a 3 = - a 2 b 3

Somando as três

x - = 1 a b 0 + a 2 b - a 2 b 3 = 1 a b 2 a 2 b 3

x - = 2 a 3

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para y

y - = - 1 a b ∮ C y 2   d x = - 1 a b ∫ C 1 y 2   d x + ∫ C 2 y 2   d x + ∫ C 3 y 2   d x

A primeira integral

∫ C 1 y 2   d x = ∫ 0 a 0 2 d x = 0

A segunda

∫ C 2 y 2   d x = ∫ 0 b t 2 d d t a d t = 0

A terceira

∫ C 3 y 2   d x = ∫ 0 1 b - b t 2 d d t a - a t   d t

= ∫ 0 1 b - b t 2 ( - a ) d t = - a b - b t 3 - 3 b 0 1 = a 3 b - b 3 = - a b 2 3

Substituindo

y - = - 1 a b - a b 2 3

y - = b 3

Resposta

2 a 3 , b 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Exercício 22 para encontrar o centroide de um quarto de uma região circular de raio a .
Uma lâmina plana com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C . Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são I x = - ρ 3 ∮
Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano x y . Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide ( x - ,y - ) de D são x - = 1 2 A ∮ C x 2d y y - = -
Utilize o Exercício 25 para achar o momento de inércia de um círculo de raio a com densidade constante em relação a um diâmetro (compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5).