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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 39

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,   y = x   i + y + 2   j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r t = t - s e n   t   i + 1 - cos ⁡ t   j   ,     0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Galera, o trabalho vai ser calculado da seguinte maneira:

W = ∫ C F   .   d r = ∫ 0 2 π F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = ( t - s e n   t )   i + ( 3 - cos ⁡ t )   j

r ' t = 1 - cos ⁡ t   i + s e n   t   j

Então,

∫ 0 2 π F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 2 π t - s e n   t ,   3 - cos ⁡ t   .   1 - cos ⁡ t ,   s e n   t   d t = ∫ 0 2 π t - t cos ⁡ t - s e n   t + s e n   t cos ⁡ t + 3   s e n   t - s e n   t cos ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π t - t cos ⁡ t + 2   s e n   t   d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 2 π t - t cos ⁡ t + 2   s e n   t   d t = t 2 2 - t   s e n   t + cos ⁡ t - 2 cos ⁡ t 0 2 π = 2 π 2

Resposta

W = 2 π 2

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:18. ∫ C x d x + y d y , onde C é o triângulo de vértices 0,0 ,0,1 e ( 1,1 ) no sentido anti-horário.
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Calcule ∫ γ xd x + yd y , sendo γ dada por x = t 2 e y = s e nt , 0 ≤ t ≤ π / 2 .