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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 16

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

16. f → x , y = ( | x | , | y | ) ; C é a curva dada por r → t = t 2 i + t 3 j , t ∈ [ - 1,1 ] :

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

E a nossa força f → x , y , z é dada por:

f → x , y = ( | x | , | y | )

Em relação à curva parametrizada... Olha que sorte! Já temos que:

r → t = t 2 i + t 3 j = ( t 2 , t 3 )

Passo 2

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y = ( | x | , | y | )

Assim, bora tratar de fazer a troca:

f → x , y = ( | t 2 | , | t 3 | )

f → x , y = ( t 2 , | t 3 | )

Passo 3

Seguindo nosso raciocínio. O passo número três consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = r → ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

r → ' t = ( 2 t , 3 t 2 )

Passo 4

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y d r →

E o nosso limite de integração do enunciado tiramos que vai de - 1 até 1 , portanto:

∫ - 1 1 f → x , y d r → = ∫ - 1 1 ( t 2 , | t 3 | ) ∙ ( 2 t , 3 t 2 ) d t

∫ - 1 1 2 t 3 + 3 | t 5 | d t =

= ∫ - 1 0 2 t 3 + 3 ( - t 5 ) d t + ∫ 0 1 2 t 3 + 3 t 5 d t =

= ∫ - 1 0 2 t 3 - 3 t 5 d t + ∫ 0 1 2 t 3 + 3 t 5 d t = 2 t 4 4 - 3 t 6 6 - 1 0 + 2 t 4 4 + 3 t 6 6 0 1

= - 2 - 1 4 4 - 3 - 1 6 6 + 2 1 4 4 + 3 1 6 6 = 1

Resposta

V a l o r   d a   i n t e g r a l = 1

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