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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 114b

Determine o valor médio de y = sqrt(a x) em [ 0 , a ] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f (c) = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Assim, temos:

f (c) = (1)/(a - ( 0 )) int_0^a sqrt(a x) d x = (1)/(a) int_0^a sqrt(a x) d x

Passo 2

Agora devemos integrar e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Logo:

(1)/(a) int_0^a sqrt(a x) d x = (1)/(a) int_0^a (a x)^((1)/(2)) d x = (1)/(a) ( (((a x)^((3)/(2))))/((3)/(2)) )_0^a = (2)/(3 a) [(a xx a)^((3)/(2)) - (a xx 0)^((3)/(2))]

(2)/(3 a) (sqrt(( a^2 )^3)) = (2)/(3 a) (sqrt(a^6)) = (2)/(3 a) (a^3) = (2 a^2)/(3)

Resposta

(2 a^2)/(3)

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