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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 33

Encontre o valor médio de

f (x) = (sqrt(x^2 - 1))/(x) , 1 <= x <= 7

Passo 1

Podemos encontrar o valor médio de uma função em um intervalo da seguinte forma, isso funciona como uma receita de bolo, você sempre pode usar essa “fórmula”

f_m é d i o = (1)/(x_f i n a l - x_i n i c i a l) int_(x_i n i c i a l)^(x_f i n a l) f (x) d x

Então

f_m é d i o = (1)/(7 - 1) int_1^7 (sqrt(x^2 - 1))/(x) d x = (1)/(6) int_1^7 (sqrt(x^2 - 1))/(x) d x

Vamos calcular a integral separadamente

int_1^7 (sqrt(x^2 - 1))/(x) d x

Passo 2

Vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja

x = sec (theta)

Diferenciando, temos que

d x = sec (theta) tan (theta) d theta

Vamos calcular os novos limites de integração

theta_i n f e r i o r : 1 = sec (theta) :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : 7 = sec (theta) :. theta = theta^* = sec^(- 1) (7)

Agora, vamos simplificar o numerador, pra isso precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec^2 (theta) - 1 = tan^2 (theta)

sqrt(x^2 - 1) = sqrt(sec^2 (theta) - 1) = sqrt(tan^2 (theta)) = tan (theta)

Então, substituindo na integral, ficamos com

int_1^7 (sqrt(x^2 - 1))/(x) d x = int_0^(theta^*) (tan (theta))/(sec (theta)) sec (theta) tan (theta) d theta = int_0^(theta^*) tan^2 (theta) d theta = int_0^(theta^*) (sec^2 (theta) - 1) d theta = [tan (theta) - theta]_0^(theta^*) = sqrt(48) - sec^(- 1) (7)

Passo 3

Agora que calculamos a integral, podemos substituir o resultado e ficamos com

f_m e d i o = (1)/(6) int_1^7 (sqrt(x^2 - 1))/(x) d x = (1)/(6) [sqrt(48) - sec^(- 1) (7)]

Resposta

f_m e d i o = (1)/(6) [sqrt(48) - sec^(- 1) (7)]

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