Encontre o valor médio de

f(x) = raiz(x^2 - 1) / x, 1 <= x <= 7

Passo 1

Podemos encontrar o valor médio de uma função em um intervalo da seguinte forma, isso funciona como uma receita de bolo, você sempre pode usar essa “fórmula”

f m é d i o = 1 x f i n a l - x i n i c i a l ∫ x i n i c i a l x f i n a l f x d x

Então

f m é d i o = 1 7 - 1 ∫ 1 7 x 2 - 1 x d x = 1 6 ∫ 1 7 x 2 - 1 x d x

Vamos calcular a integral separadamente

∫ 1 7 x 2 - 1 x d x

Passo 2

Vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja

x = sec ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Vamos calcular os novos limites de integração

θ i n f e r i o r : 1 = sec ⁡ θ ∴   θ = 0

θ s u p e r i o r : 7 = sec ⁡ θ ∴ θ = θ * = sec - 1 ⁡ 7

Agora, vamos simplificar o numerador, pra isso precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

x 2 - 1 = sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ = tan ⁡ θ

Então, substituindo na integral, ficamos com

∫ 1 7 x 2 - 1 x d x = ∫ 0 θ * tan ⁡ θ sec ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 0 θ * tan 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 θ * sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = tan ⁡ θ - θ 0 θ * = 48 - sec - 1 ⁡ 7

Passo 3

Agora que calculamos a integral, podemos substituir o resultado e ficamos com

f m e d i o = 1 6 ∫ 1 7 x 2 - 1 x d x = 1 6 48 - sec - 1 ⁡ 7

Resposta

f m e d i o = 1 6 48 - sec - 1 ⁡ 7

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