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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

6 .           f θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ ,                     0 , π 4

Passo 1

Para resolver a questão, vamos lembrar o seguinte: Se f é contínua em [ a , b ] , então existe um número c em [ a , b ] tal que:

f c = f med = 1 b - a ∫ a b f θ d θ

Vamos aplicar a fórmula na nossa questão no intervalo 0 , π 4 .

f med = 1 π 4 ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 4 π ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Temos uma integral definida e sabemos que:

∫ a b f θ d θ = F b - F a

Em que F ' = f .

Dessa forma, utilizando a integral ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ + C , temos:

f med = 4 π sec ⁡ θ 0 π 4 = 4 π sec ⁡ π 4 - sec ⁡ 0 = 4 π 1 cos ⁡ π 4 - 1 cos ⁡ 0

= 4 π 1 2 2 - 1 = 4 π 2 2 - 1 = 4 π 2 - 1

Sendo assim, o valor médio é 4 π 2 - 1 .

Resposta

f med = 4 π 2 - 1

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