Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x -> 0)(lim) (2^(s e n x) - 1)/(e^x - 1)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0)(lim) (2^(s e n x) - 1)/(e^x - 1) = (2^(s e n 0) - 1)/(e^0 - 1) = (1 - 1)/(1 - 1) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abrir essas contas para deixar (0)/(0) ou (oo)/(oo)

underset(x -> 0)(l i m) (l n 2 c o s x 2^(- s e n x))/(e^x) = (l n 2 c o s 0 2^0)/(e^0) = l n 2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (2^(s e n x) - 1)/(e^x - 1) = l n 2

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