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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 113a

Determine o valor médio de f (x) = m x + b em [ - 1,1 ] .

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f (c) = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Assim, temos:

f (c) = (1)/(1 - ( - 1 )) int_1^(- 1) (m x + b) d x = (1)/(2) int_1^(- 1) m x d x + (1)/(2) int_1^(- 1) b d x

Lembre-se da propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Passo 2

Agora devemos integrar e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Logo:

(1)/(2) int_1^(- 1) m x d x + (1)/(2) int_1^(- 1) b d x = (1)/(2) (m (x^2)/(2)) (- 1)/(1) + (1)/(2) (b x) (- 1)/(1) =

(1)/(2) ((m)/(2) - (m)/(2)) + (1)/(2) (- b - (b)) = (1)/(2) (- 2 b) = - b

Resposta

- b

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Se f é contínua e ∫ 1 3 f x d x = 8 , mostre que f assume o valor 4 pelo menos uma vez no intervalo [ 1,3 ] .
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Encontre os valores de b tais que o valor médio de f x = 2 + 6 x - 3 x ² ² no intervalo [ 0 , b ] é igual a 3 .