Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 20
Encontre por derivação implícita.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar derivando implícitamente a equação:
Repare que o e o ficam misturados ali na equação, por isso dizemos que isso é uma expressão implícita e, também, por isso o nome da derivação.
Para fazer essa derivação precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que é uma função de .
Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde estará dentro de outra função.
Depois basta isolar como sendo e termos nossa derivada pedida.
Vem que te mostro tudinho no passo a passo.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da função em relação a , assim:
Fazendo isso separadamente, vamos começar pelo lado esquerdo, com:
A derivada da tangente é uma daquelas derivadas tabelada que nós precisamos sempre ter em mente. Sua derivada é a secante ao quadrado.
Como temos dentro do argumento da tangente, trataremos a derivação com uma regra da cadeia.
Sendo:
Ou seja, fazendo a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
Assim, nossa derivada será:
Maravilha.
Passo 3
Agora vamos fazer a derivação do lado direito.
Perceba que nossa função é formada por uma divisão entre duas outras funções. Sendo assim, usaremos a regra do quociente para essa derivação.
Fazendo
E
Sua derivada
Aplicando a regra, vamos obter:
Prontinho.
Passo 4
Já temos as duas derivadas. Vamos agora igualar as duas coisas.
E encontramos
Agora vamos multiplicar ambos os lados da equação por , para eliminar o denominador:
Distribuindo em no lado direito da equação, temos:
Agora distribuindo dentro do colchete do lado esquerdo, vamos ter:
Como a gente quer saber o valor da derivada, vamos colocar em evidência:
E aí basta isolar , dividindo todo mundo pelo termo do colchete:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉