Determine os valores das constantes a ,   b e c , de modo que o gráfico de y = a x 3 + b x 2 + c x   tenha um máximo local em x = 3 , um mínimo local em x = - 1 e um ponto de inflexão em ( 1 ,   11 ) .

Passo 1

Primeiramente, para encontrar os pontos críticos vamos calcular a derivada primeira.

y ' = 3 a x 2 + 2 b x + c

Os pontos críticos são onde a derivada é zero:

y ' = 3 a x 2 + 2 b x + c = 0

Substituindo os valores dados:

y ' 3 = 3 a 3 2 + 2 b 3 + c = 0 → 27 a + 6 b + c = 0 (1)

y ' - 1 = 3 a - 1 2 + 2 b - 1 + c → 3 a - 2 b + c = 0 (2)

Igualando as duas, encontramos:

27 a + 6 b + c = 3 a - 2 b + c → a = - 8 b 24 → a = - 1 b 3

Passo 2

Sabendo que o ponto ( 1,11 ) pertence a função, temos:

a 1 3 + b 1 2 + c 1 = 11 → a + b + c = 11 (*)

E pela derivada segunda: 6 a x + 2 b que deve resultar em zero no ponto de inflexão...

6 a 1 + 2 b = 0   (3)

Juntando (1), (2), (3) e (*), encontramos:

a = - 1   ; b = 3   e   c = 9

Resposta

a = - 1   ; b = 3   e   c = 9

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