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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.3 - Ex. 74

Determine os valores das constantes a, b, c e d de modo que f x = a x 3 + b x 2 + c x + d tenha um máximo local no ponto (0,0) e um mínimo local no ponto (1,-1).

Passo 1

Vamos fazer o teste da derivada primeira para determinar os pontos críticos da função.

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Para ser ponto crítico, a derivada deve ser zero:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c = 0

Passo 2

Para (0,0) ser um ponto de máximo, precisamos de um ponto crítico em x=0...

f ' 0 = c = 0           ( 1 )

E pra (1,1) ser ponto de mínimo local, precisamos de um ponto crítico em x=1

f ' 1 =   3 a + 2 b + c = 0             ( 2 )

Além disso, temos:

f 0 = d = 0       ( 3 )

f 1 = a + b + c + d = - 1         ( 4 )  

Juntando as equações (1), (2), (3) e (4), temos:

  • c = 0   ; d = 0
  • 3 a + 2 b = 0
  • a + b = - 1
  • → a = 2   e   b =   - 3

Resposta

a = 2   ,   b = - 3 ,   c = 0 ,   d = 0

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