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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 34

Fazendo café Café escoa de um filtro cônico para uma cafeteira cilíndrica à taxa de 10 p o l 3 /min.

a. A que taxa o nível na cafeteira aumentará quando o café no filtro tiver 5 polegadas de profundidade?

b. A que taxa o nível do filtro diminuirá nesse momento?

Passo 1

Dados Filtro Cônico h   f i l t r o ( h f ) = 6   i n

d i a m e t r o d f = 6   i n

r f = 3   i n

V a z a o   s a i d a = - 10 i n 3 m i n → v a z a o   s a i

r h = 3 6 = 1 2 → r = 1 2 h   o u   h = 2 r

Dados cafeteira cilíndrica:

d i a m e t r o d c = 6   i n

r c = 3   i n

V a z ã o   e n t r a d a = 10 i n 3 m i n

Altura do café no filtro = 5 in

Pede-se:

Variação da altura do filtro: d h f d t

Variação da altura da cafeteria: d h c d t

Onde:

p o l = i n

f t = p é s

Passo 2

Com esses dados podemos calcular a vazão de entrada e saída dos dois componentes calculando suas vazões:

Volume do Filtro:

V f = 1 3 π r 2 f h f

Como estamos interessados em achar a taxa de variação da altura, precisamos eliminar o r, utilizar r = 1 2 h .

Logo teremos:

V f = 1 3 π 1 4 h f 2 h f 2 = 1 12   π h f 3  

Derivando no tempo:

d V f d t = 1 12 π 3 h f 2 d h f d t = 1 4 π h f 2 d h f d t

Agora indo pra cafeteira nós tomamos o procedimento

V c = π r 2 h c

Derivando no tempo temos:

d V c d t = π r 2 d h c d t

Uma vez que no cilindro o raio não varia !

Passo 3

Podemos encontrar a variação das alturas agora substituindo os valores nas duas equações diferenciais encontradas:

Para o Filtro:

- 10 i n 3 m i n = 1 4   π   25 i n 2 d h f d t

Com isso encontramos:

d h f d t =   - 8 5   π   i n m i n = - 0.509   i n m i n

Para a Cafeteira:

10 i n 3 m i n = π × 9 i n × d h c d t

d h c d t = 10 9 π i n m i n = 0.354   i n m i n

Resposta

  1. d h f d t =   - 8 5   π   i n m i n = - 0.509   i n m i n

  2. d h c d t = 10 9 π i n m i n = 0.354   i n m i n
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