Encontre o máximo e mínimo absoluto da função f no intervalo dado.

f(x) = (raiz(x^2 - 4)^3), [-2, 3]

Passo 1

Opa! O enunciado dá pra a gente a seguinte função:

f x = ( x 2 - 4 ) ³ ,       [ - 2 ,   3 ]

E pede os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado.

Primeiro precisamos encontrar os valores críticos são os pontos onde a derivada da função é zero ou é indefinida. Em outras palavras, são os pontos onde a inclinação da curva muda, o que pode indicar a presença de máximos ou mínimos locais.

- Ao encontrar os valores críticos, estamos identificando os pontos onde a taxa de variação da função muda, sugerindo possíveis pontos de inflexão onde a curva passa de crescente para decrescente (ou vice-versa).

- No caso de funções cúbicas como f x = ( x 2 - 4 ) ³ ,   a derivada f ' x é uma função quadrática. Resolvendo f ' x =   0   , encontramos os pontos onde a taxa de variação da função muda, ou seja, os pontos críticos.

Logo após precisamos determinar os valores de máximos e mínimos

- Uma vez que identificamos os valores críticos e os extremos do intervalo, comparamos todos esses valores para determinar os máximos e mínimos absolutos.

- Em um intervalo fechado e limitado como [ - 2,3 ] os extremos do intervalo são os primeiros candidatos a máximos e mínimos absolutos.

- Os valores críticos também são pontos importantes a serem considerados, pois podem indicar a presença de máximos ou mínimos locais.

- Comparando os valores nos extremos do intervalo e nos valores críticos, podemos determinar quais são os máximos e mínimos absolutos no intervalo dado.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f e iguala-la a zero para encontrar os números críticos:

f x ' = 3 x 2 - 4 2 × 2 x

f x ' = 6 x x 2 - 4 2 = 0

x 1 = 0  

x 2 = 2

x 3 = - 2

Passo 3

Achamos os candidatos a pontos críticos, vamos testar o valor deles e os do intervalo:

f - 2 = - 2 2 - 4 3 =   0

f - 1 = - 1 2 - 4 3 = - 27

f 0 = 0 - 4 3 = - 64

f 1 = 1 2 - 4 3 = - 27

f 2 = 2 2 - 4 3 = 0

f 3 = 3 2 - 4 3 = 125

Resposta

Máximo absoluto – f 3 = 125

Mínimo absoluto -   f 0 = - 64

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