Encontre o máximo e mínimo absoluto da função f no intervalo dado.

f(x) = raiz(x) / (1 + x^2), [0,2]

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função

f x = x 1 + x 2

E nosso objetivo é obter os máximos e mínimos no intervalo 0,2 .

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que aplicar dois métodos... o primeiro é pelos pontos críticos da função.

Pra isso vamos calcular a derivada de f e verificar para quais valores de x temos f ' x = 0 . Assim, substituindo esses valores em f , podemos compará-los e determinar qual é o maior e qual é o menor.

O outro método é pelos limites do intervalo... aqui basicamente temos que comprar os valores de f nos limites do intervalo de análise com os valores obtidos dos pontos críticos.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f ... podemos perceber que f é uma fração de funções, então podemos aplicar a regra do quociente.

f x = x 1 + x 2 → f ' x = d x d x · 1 + x 2 - x · d 1 + x 2 d x 1 + x 2 2

Pela regra da potência, temos

f ' x = 1 2 x · 1 + x 2 - x · 2 x 1 + x 2 2

f ' x = 1 + x 2 2 x - 2 x x 1 + x 2 2

f ' x = 1 + x 2 - 4 x 2 2 x 1 + x 2 2

f ' x = 1 - 3 x 2 2 x 1 + x 2 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora precisamos igualar f ' x a 0 para obter os pontos críticos...

f ' x = 1 - 3 x 2 2 x 1 + x 2 2 = 0

Para essa igualdade ser verdadeira, o numerador tem que ser igual a 0 , ou seja

1 - 3 x 2 = 0

x = 1 3

Substituindo esse valor em f x , temos

f 1 3 = 1 3 1 + 1 3 2

f 1 3 = 1 3 1 + 1 3 = 0,57

Encontramos apenas um ponto crítico e a imagem desse ponto crítico é f 1 3 = 0,57 .

Bora continuar!

Passo 4

Agora vamos analisar os limites do intervalo e comparar com o valor do passo anterior.

Se nosso intervalo é 0,2 , para x = 0

f 0 = 0 1 + 0 2 = 0

Agora para x = 2 , temos

f 2 = 2 1 + 2 2 = 0,28

Comparando com f 1 3 = 0,57 vemos que o máximo absoluto acontece em x = 1 3 e o mínimo em x = 0 .

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

Máximo absoluto – f 3 3 = 0,57

Mínimo absoluto -   f 0 = 0  

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