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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 66

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x ²   l n x

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, faremos a segunda derivada para classifica-los como máximo, mínimo ou inflexão.

Passo 2

Derivando, vamos ter:

y ' = 2 x ln ⁡ x + x 2 x = 2 x   l n x + x

Passo 3

Em y ' = 0 vamos ter:

2 x   l n x + x = 0

2 x ln ⁡ x = - x

ln ⁡ x = - x 2 x

ln ⁡ x = - 1 2

e ln ⁡ x = e - 1 2

x = 1 e = e e

Passo 4

Calculando a seguna derivada e igualando a 0, teremos:

y ' ' = 2 ln ⁡ x + 2 + 1 = 2 ln ⁡ x + 3

2 ln ⁡ x + 3 = 0

ln ⁡ x = - 3 2

e ln ⁡ x = e - 3 2

x = 1 e 3 = e e 2

A segunda deercada é positiva, logo:

Resposta

M í n i m o   g l o b a l   e m   x = 1 e

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