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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.3 - Ex. 75

Localize e identifique os valores extremos absolutos de:

a) l n ⁡ ( cos ⁡ x )   e m   π 4 , π 3

b) cos ⁡ ( ln ⁡ x )   e m   1 2 , 2

Passo 1

a) l n ⁡ ( cos ⁡ x )   e m   π 4 , π 3

Vamos começar identificando os pontos críticos da função através da derivada primeira.

f ' x = 1 cos ⁡ x   - s e n x = - s e n   x cos ⁡ x   =   - t g   x  

Os pontos críticos são quando a derivada é zero...

- t g   x = 0

- s e n   x cos ⁡ x   = 0 → s e n   x = 0 → x = 0   o u   x = π

Vemos que x = 0   e   x = π não estão no nosso intervalo, portanto só iremos analisar os pontos extremos do intervalo dado:

f π 4 = ln ⁡ 2 2

f π 3 = ln ⁡ 1 2

Então, vemos que a função apresenta um máximo local em x = π 4 e um mínimo local em x = π 3 .

Passo 2

b) cos ⁡ ( ln ⁡ x )   e m   1 2 , 2

Vamos calcular a derivada:

f ' x =   - s e n ( ln ⁡ x )   1 x = - s e n ln ⁡ x   x

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero.

- s e n ln ⁡ x   x = 0  

s e n   ( ln ⁡ x )   = 0  

(seno de 0   e   π resultam em zero)

ln ⁡ x = 0 → x = 1

ln ⁡ x = π → x = e π   ( f o r a   d o   i n t e r v a l o )

Consideremos então os pontos extremos do intervalo e x = 1:

f 1 2 = c o s ⁡ ( ln ⁡ 1 2 ) =     0,999 9368337

f 1 = cos ⁡ ( ln ⁡ 1 ) = 1

f 2 = cos ⁡ ( ln ⁡ 2 ) = 0,999 9268237

Então a função apresenta um ponto de máximo local em x = 1 e dois pontos de mínimo locais em x = 1 2 e   x = 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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