Sejam Q x , y = a x 2 + 2 b x y + c y 2 , ande a , b e c são constantes não simultaneamente nulas. Seja g x , y = x 2 + y 2 - 1 . Suponha que x 0 , y o ,z 0 seja solução do sistema ∇ Q x , y = λ ∇ g x , y x 2 + y 2 = 1 Supondo que os multiplicadores de Lagrange associados ao problema sejam estritamente positivos, prove que Q x 0 ,y 00 para todo x , y ≠ 0 .

Enunciado

Não tem segredo, devemos resolver o sisteminha

para provar que realmente para . Vamos lá!

Vamos começar calculando o vetor :

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :

E pronto, já temos os gradientes!

Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:

Ou, rearranjando e reescrevendo para o ponto :

Agora, dividindo a 1ª equação pela 2ª, é obtido

Logo, . Substituindo da 3ª equação, saímos com e, retornando para a 1ª equação, finalmente obtemos .

Jogando os valores que encontramos na definição de , obtemos

Daí,

Mas , logo

Já falta pouco!

Mas os termos nesse numerador se cancelam:

Logo,

Portanto, qual a implicação direta de ter multiplicadores de Lagrange positivos? Segundo a equação acima, , como queríamos provar!

Ei, a resposta está no passo a passo :)