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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 38

Determine o ponto do plano x - y + z = 4 que está mais próximo do ponto 1,2 , 3 .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos!

Aqui a gente precisa determinar qual ponto do plano:

x - y + z = 4

Está mais próximo do ponto:

1,2 , 3

Para resolver essa questão, devemos encontrar a distância entre o ponto e o plano em função dos eixos.

Depois com a equação do plano, isolar um dos eixos e substituir na equação acima.

Calcularemos as derivadas parciais e as igualaremos a 0 para descobrirmos qual ou quais são os pontos críticos.

A partir do teste da segunda derivada conseguiremos saber se é um ponto de máximo de mínimo ou de sela.

Escolheremos o que está de acordo com o enunciado e substituindo na primeira equação encontrada você conseguirá encontrar a distância.

Passo 2

Vamos começar encontrando a distancia entre o ponto 1,2 , 3 e um ponto x , y , z qualquer:

d x , y , z =   x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2

Elevando ambos os lados ao quadrado:

d ² = x - 1 2 + y - 2 2 + ( z - 3 ) ²

A equação do nosso plano é:

x + y + z = 4

E a gente pode reescrever como:

z = 4 - x + y

Agora a gente vai substituir na equação da distancia esse z :

f x , y = x - 1 2 + y - 2 ² + ( 1 - x + y ) ²

Então temos uma equação da distancia com uma função x , y .

Iremos então derivar e procurar os pontos críticos dessa função.

Derivando em relação a x :

f x = 2 x - 1 + 2 1 - x + y - 1

Agora a gente iguala a zero para encontrar os pontos críticos:

f x = 4 x - 4 - 2 y = 0

f y = 2 y - 2 + 2 1 - x + y

Agora a gente iguala a zero para encontrar os pontos críticos:

f y = 4 y - 2 x - 2 = 0

Resolvendo o sistema acima encontramos: x = 5 3 e y = 4 3 , logo o único ponto crítico é ( 5 3 , 4 3 ) .

Passo 3

Deveremos testar esses pontos críticos na seguinte equação:

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

f x = 4 x - 4 - 2 y

Então f x x :

f x x = 4

E

f y = 4 y - 2 x - 2

Então:

f y y = 4

e

f x y = - 2

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

D = 4 ⋅ 4 - - 2 2 = 12 > 0

e

f x x > 0

logo ( 5 3 , 4 3 ) é um ponto de mínimo.

z = 4 - 5 3 + 4 3

z = 11 3

Assim, o ponto que possui menor distância é   5 3 , 4 3 , 11 3 .

Resposta

O ponto que possui menor distância é   5 3 , 4 3 , 11 3 .

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