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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 9

Determine o ponto da reta

x + 2 y + z = 1 2 x + y + z = 4

Que se encontra mais próximo da origem.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distância de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a reta dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância de um ponto x , y , z à origem é dada por x 2 + y 2 + z 2 , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x 2 + y 2 + z 2

g = x + 2 y + z - 1

h =   2 x + y + z - 4

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g (e h ) sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a reta).

Hmmmm, mas note que termos definido f = x 2 + y 2 + z 2 nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x 2 + y 2 + z 2 ? Afinal, procurar o menor x 2 + y 2 + z 2 é o mesmo que procurar o menor x 2 + y 2 + z 2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h g = 0 h = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x , 2 y , 2 z

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 1,2 , 1

Tranquilo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ h :

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z = 2,1 , 1

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f , ∇ g e ∇ h no sisteminha ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h g = 0 h = 0 , o que nos fornece:

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,2 , 1 + μ 2,1 , 1 x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y + z - 4 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 5 equações:

2 x = λ + 2 μ 2 y = 2 λ + μ 2 z = λ + μ x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y + z - 4 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações:

x = λ 2 + μ y = λ + μ 2 z = λ 2 + μ 2

Substituindo isto nas últimas equações do sisteminha, ficamos com

λ 2 + μ + 2 λ + μ 2 + λ 2 + μ 2 - 1 = 0 2 λ 2 + μ + λ + μ 2 + λ 2 + μ 2 - 4 = 0

Rearranjando,

3 λ + 5 2 μ = 1 5 2 λ + 3 μ = 4

Haja sisteminha! Vamos fazer uma manipulação estratégica multiplicando por 5 6 a primeira equação:

5 2 λ + 25 12 μ = 5 6 5 2 λ + 3 μ = 4

Subtraindo uma equação da outra, chegamos a μ = 38 11 , e logo λ = - 28 11 . Obtivemos o único ponto extremo!

Passo 4

Como saímos com um único valor para λ e μ , o resultado é direto: vamos recuperar x , y e z através do sisteminha:

x = λ 2 + μ y = λ + μ 2 z = λ 2 + μ 2

Assim, para λ = - 28 11 e μ = 38 11 , podemos tirar que

x = 24 11 y = - 9 11 z = 5 11

Assim, as coordenadas ( x , y , z ) do mínimo são:

24 11 ,   - 9 11 , 5 11

Resposta

24 11 ,   - 9 11 , 5 11

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