Enunciado

Seja f x , y =   x 2 e 3 x y .

(a) Calcule f 2,0 .

(b) Determine o domínio de f .

(c) Determine a imagem de f .

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte expressão:

f x , y =   x 2 e 3 x y

Queremos primeiramente calcular f 2,0 . Para isso, basta compararmos os valores de x e y que nos foram dados e substituir na função.

Em seguida, deveremos determinar o domínio e a imagem dessa função.

Para encontrar o domínio, precisamos determinar os valores de x e y que não causam problemas (divisão por zero, raízes de números negativos, logaritmos de números não positivos).

Já para encontrarmos a imagem, devemos buscar os valores de f x , y que a função pode assumir ao avaliar todos os x e y do domínio.

Passo 2

Vamos primeiro calcular f 2,0 .

Assim, sabemos que:

x = 2

y = 0

Logo, substituindo na função, obtemos:

f 2,0 =   2 2 e 3 ⋅ 2 ⋅ 0

f 2,0 = 4 ⋅ e 0

f 2,0 = 4 ⋅ 1

f 2,0 = 4

Passo 3

Queremos determinar o domínio de f ( x , y ) . Ou seja, queremos saber que valores de x , y podem ser usados para que f ( x , y ) seja real.

Para definir o domínio, é melhor olhar para as restrições.

Porém, não há restrições para polinômios ( x 2 ) e nem para funções exponenciais ( e 3 x y ).

Assim, o domínio é qualquer valor de x e y , ou seja, o domínio de f ( x , y ) é R 2 .

Passo 4

Queremos determinar a imagem de f ( x , y ) . Ou seja, se usarmos todas as combinações possíveis de valores do domínio, quais serão todos os valores possíveis de f ( x , y ) ?

Assim como fizemos para o domínio, vamos dar uma olhada nas restrições.

Como x 2 ≥ 0 e e 3 x y > 0 , o produto entre eles será maior ou igual a zero.

Assim, f x , y =   x 2 e 3 x y   ≥ 0 .

A imagem pertence ao intervalo 0 , ∞ .

Resposta

  1. 4
  2. O domínio é qualquer valor de x e y , ou seja, o domínio de f x , y é R 2
  3. A imagem pertence ao intervalo 0 , ∞
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