Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 16
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.
Sugestão: Utilize a fórmula que fornece a área do triângulo em função dos lados , e e do semiperímetro .
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Maximize a função área , sendo que o perímetro constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Note que dá na mesma se trabalharmos com perímetro ou semiperímetro constantes. Assim, vamos adotar como sendo um valor FIXO e CONHECIDO.
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, a soma deve ser igual a 36).
Hmmmm, mas note que termos definido nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor ? Afinal, procurar o maior é o mesmo que procurar o maior ! Espertezaaaa!
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é
O que implica de imediato que .
Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos
O que implica de imediato que . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:
Ou seja, sendo o semiperímetro, temos que o triângulo de área máxima será equilátero, com cada lado valendo exatamente um terço do perímetro!
Resposta
Equilátero